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J. Ocean Eng. Technol. > Volume 31(3); 2017 > Article
B-Spline 고차 경계요소법을 이용한 3차원 수중익의 날개 끝 와류유동 수치해석

Abstract

A three-dimensional higher order boundary element method based on the B-spline is presented. The method accurately models piecewise continuous bodies and induced velocity potentials using B-spline tensor product representations, and it is capable of obtaining accurate pointwise values for the potential and its derivatives, especially in the trailing edge and tip region of the lift generating body, which may be difficult or impossible to evaluate with constant panel methods. In addition, we implement a wake roll-up and examine the tip vortex formation in the near wake region. The results are compared with existing numerical results and the results of experiments performed out at the cavitation tunnel of Chungnam National University.

1. 서 론

프로펠러에서 발생하는 날개 끝 보텍스 캐비테이션은 주된 선박 소음원의 하나로서, 소음의 감소를 중요시하는 잠수함 및 군함용 프로펠러 설계 및 제작 시 중요하게 다뤄져왔다(Kuiper, 2001). 이러한 날개 끝 보텍스 캐비테이션(Tip vortex cavitation, TVC)과 관련하여 모형선-실선 상관관계를 규명하는 실험식과 기본적인 2차원 모델링을 통한 연구가 수행되어졌으며(McComick, 1962; Fruman et al., 1992), 이어서 프로펠러 블레이드와 3차원 수중익에서 발생하는 후류 유동에 대한 실험 연구(Souders and Platzer, 1981; Arndt et al., 1991; Maines and Arndt, 1997; Astolfi et al., 1999)와 저차 경계요소법을 이용한 해석 연구(Pyo and Kinnas, 1997, Kinnas et al., 1998; Lee and Kinnas, 2001)가 활발히 수행되어져 왔다. 각 패널 상에서의 속도포텐셜이 일정하다고 가정하는 기존의 저차 패널법은 이웃하는 패널 사이에 유한차분법을 적용함으로써 물체표면에서의 속도를 계산하기 때문에 이에 따른 근본적인 수치 오류를 피할 수 없다. 이러한 수치 오류는 양력을 발생하는 물체에서 형상이 급격하게 변하는 날개 앞날, 뒷날과 날개 끝에서의 계산 정확도를 낮추기 때문에 속도와 압력을 보다 정확히 예측할 수 있는 고차 패널법의 개발이 요구되어졌다. 앞서 언급하였듯이 선박용 프로펠러의 경우 날개 끝에서 발생하는 날개 끝 보텍스 캐비테이션과 이로 인해 발생하는 소음의 제어가 필수적이다. 이러한 이유로 형상 및 속도포텐셜의 구현에 제한이 없어 날개 끝과 같이 급격한 형상 변화를 갖는 구간에 대한 해석이 자유롭고 수치 미분에 의한 오류 발생 정도가 낮은 B-스플라인을 적용한 고차 패널법을 적용한 연구(Hsin, et al., 1993; Lee and Kerwin, 2003; Lee et al., 2004)가 시도되어져 왔다. 본 연구팀은 B-스플라인을 적용한 고차 패널법을 통해 보다 향상된 선박용 프로펠러 해석방법을 개발하고자 지속적인 연구를 수행해오고 있다(Kim and Lee, 2005; Kim et al., 2007; Ahn et al., 2008). 본 연구를 통해 B-스플라인 고차 경계요소법을 이용하여 3차원 수중익의 날개 끝 와류유동에 대한 수치해석법을 재정립하고, 날개 끝 와류 유동장에서의 보텍스 중심의 위치와 수축정도를 계산함으로써 날개 끝 보텍스 캐비테이션의 궤적을 구현하고자 한다. 또한, 이를 기존의 연구 결과 및 충남대학교 캐비테이션 터널에서 수행한 실험 결과와의 비교를 통해 개발한 수치해석법의 신뢰성을 검증하고자 한다.

2. 수치해석 방법

2.1 기하학적 형상과 속도포텐셜의 표현기법

B-스플라인을 이용한 2차원의 기하학적 형상 표현은 식 (1)과 같이 독립적인 공간에서 일률적으로 증가하는 매개변수 u의 함수로 나타난다(Piegl and Tiler, 1996).
HOGHC7_2017_v31n3_189_e901.jpg
이때, HOGHC7_2017_v31n3_189_e001.jpg는 매개변수 공간에서 기하학적 제어점(Control vertex)인 HOGHC7_2017_v31n3_189_e002.jpg의 개수이며, HOGHC7_2017_v31n3_189_e003.jpg는 B-스플라인을 이용한 표현기법에서 가중함수(Weight function) 역할을 하는 p-차 기저함수이다(Fig. 1). 이를 3차원으로 확장하면 매개변수 (u, v)에 대하여 식 (2)와 같이 표현할 수 있다.
Fig. 1

Physical curve representation

HOGHC7_2017_v31n3_189_f001.jpg
HOGHC7_2017_v31n3_189_e902.jpg
이때, HOGHC7_2017_v31n3_189_e004.jpgHOGHC7_2017_v31n3_189_e005.jpg는 매개변수 공간에서의 기하학적 제어점인 HOGHC7_2017_v31n3_189_e006.jpg의 개수이며 HOGHC7_2017_v31n3_189_e007.jpgHOGHC7_2017_v31n3_189_e008.jpg는 p-차 기저함수이다. 또한 동일한 기법으로 매개변수(u, v)에 대하여 3차원 공간에서의 속도포텐셜을 식 (3)과 같이 표현할 수 있다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e903.jpg
여기서, NvMv는 각 매개변수 공간에서의 속도포텐셜 제어점(HOGHC7_2017_v31n3_189_e009.jpg)의 개수이며, 기하학점 제어점과 속도포텐셜 제어점은 동일할 필요가 없다. 또한 HOGHC7_2017_v31n3_189_e010.jpgHOGHC7_2017_v31n3_189_e011.jpg는 속도포텐셜의 표현을 위한 B-스플라인 기저함수이다.

2.2 지배방정식 및 경계조건의 정식화

물체가 비점성, 비압축성인 무한 유체의 비회전성 유동 중에 작동한다고 가정할 때, 다음 식 (4)~(6)의 지배방정식과 경계조건을 적용하여 해석을 수행하고자 한다. 여기서 ϕ는 속도포텐셜, HOGHC7_2017_v31n3_189_e012.jpg은 물체표면에서 유동장 방향으로의 수직방향 단위벡터, HOGHC7_2017_v31n3_189_e013.jpg는 유동장 속도를 나타낸다.
지배방정식 :
HOGHC7_2017_v31n3_189_e904.jpg
경계조건 :
HOGHC7_2017_v31n3_189_e905.jpg
HOGHC7_2017_v31n3_189_e906.jpg

2.3 적분방정식

Green의 정리로부터 물체 표면에서의 속도포텐셜은 날개 표면(SB)과 후류면(SW)에 법선다이폴과 소스를 분포함으로써 다음 식 (7)과 같이 표현할 수 있다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e907.jpg
이때, ∆ϕ는 날개 뒷날에서의 속도포텐셜 점프로 후류면에서 다이폴의 세기이며, G는 식 (7)의 적분방정식을 만족하는 Green 함수를 나타낸다. 여기서 HOGHC7_2017_v31n3_189_e014.jpg은 제어점과 특이점 사이의 거리 벡터이다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e908.jpg
앞선 식 (7)에 식 (3)을 대입함으로써 적분방정식을 다음 식 (9)와 같이 이산화 할 수 있다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e909.jpg

2.4 유기 속도포텐셜 적분의 비특이화

앞서 정의한 적분방정식은 다음 식 (10)에 나타난 Gauss 구적법을 이용하여 계산하였다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e910.jpg
제어점이 물체 표면 위에 놓인 경우, 특이점에 의한 거동을 피하기 위해 특별한 주의가 필요하며, Maniar(1995)에 의해 제안된 비특이화 과정을 적용하였다. 따라서, 고차 다이폴과 소스의 자기 유기 속도포텐셜(HOGHC7_2017_v31n3_189_e015.jpg, HOGHC7_2017_v31n3_189_e016.jpg)은 다음 식 (11), (12)와 같이 나타낼 수 있다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e911.jpg
HOGHC7_2017_v31n3_189_e912.jpg
여기서 J는 표면요소 dS의 Jacobian으로 다음 식 (13)으로 정의되며, k는 Maniar의 2차 변환을 위한 지수이다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e913.jpg
이때, HOGHC7_2017_v31n3_189_e014.jpg은 제어점에서 패널 위의 특이점에 이르는 거리 벡터로 B-스플라인 텐서곱의 급수로 표현된다. 또한 제어점이 물체 표면에서 멀리 떨어져 있는 경우에는 매개변수 공간에서 직접 원장 근사법을 사용하여 계산하였다. 원거리의 척도가 되는 원장기준은 다음 식 (14)와 같이 정의되며, 이를 만족하지 않으면 조건에 만족할 때 까지 패널을 분할하여 적분한다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e914.jpg
이때, d는 패널 중심과 제어점 사이의 거리, l은 패널의 특성길이를 말하며, 고차 다이폴과 소스의 원장근사 유기 속도포텐셜(HOGHC7_2017_v31n3_189_e017.jpg, HOGHC7_2017_v31n3_189_e018.jpg)은 다음 식 (15), (16)과 같다(Kim et al., 2000).
HOGHC7_2017_v31n3_189_e915.jpg
HOGHC7_2017_v31n3_189_e916.jpg

2.5 동역학적 Kutta 조건과 대수 방정식의 도출

동역학적 Kutta 조건은 날개 뒷날에서의 압력 점프 값을 영으로 하며, 이는 정상유동의 경우 Bernoulli의 정리에 의해 날개 뒷날에서의 속도가 동일하다는 식 (17)로 정의된다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e917.jpg
이는 ∇ϕ 를 기준할 때 반복계산이 필요한 비선형 식으로, 다음 식 (18)과 같이 속도포텐셜 제어점(HOGHC7_2017_v31n3_189_e019.jpg)의 선형 중첩으로 표현할 수 있다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e918.jpg
이때 S의 크기는 2Mϕ×NV이며, Mϕ는 매개변수 v-방향 속도포텐셜 패널의 개수이고 NV는 속도포텐셜 제어점의 개수(NV = Nv × Mv)이다. 앞선 식 (9)의 이산화된 적분방정식은 속도포텐셜 제어점을 미지수로 하는 다음 식 (19)와 같이 정리할 수 있으며, 이때 A의 크기는 NCP × NV이고 NCP는 기하학적 제어점의 개수이다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e919.jpg
따라서 Kutta 조건을 구속조건으로 하고, 최소자승법을 이용하여 해를 계산하면 식 (20)과 같이 정의되며, L은 식 (21)에 나타낸 Lagrange 승수이다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e920.jpg
HOGHC7_2017_v31n3_189_e921.jpg

2.6 3차원 날개의 후류유동(Vortical flow) 모사

3차원 날개 끝에서 발생하는 보텍스는 Fig. 2에서 보는 바와 같이 날개 후류방향을 따라 회전하는 유동성분을 발생시켜 후류면의 감김(Wake roll-up) 현상을 야기한다.
Fig. 2

Schematic view of tip vortex formation of the lift-generating body

HOGHC7_2017_v31n3_189_f002.jpg
이러한 후류유동을 모사하기 위하여 날개 끝단에서의 순환분포를 이용하여 후류면에서의 속도를 계산하고, 이를 통해 후류면의 새로운 위치를 찾는 방법을 적용하였다. 다음 식 (22)와 같이 날개 끝단 위치에서 스팬방향(s)으로의 날개 윗면과 아랫면의 속도포텐셜의 차이는 해당 위치에서의 순환(Γ)과 같다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e922.jpg
식 (22)를 통해 계산한 순환 값을 이용하여 후류면을 따라 다음 식 (23)과 같이 순차적으로 후류면에서의 속도(wij)를 계산할 수 있으며, 계산한 속도 성분을 통해 후류면의 새로운 위치를 찾는다. 이때, NwMw는 각각 후류면의 스팬방향과 코드방향 패널의 개수이다.
HOGHC7_2017_v31n3_189_e923.jpg
후류면의 형상변화가 날개에 미치는 영향을 함께 계산하기 위하여 반복계산을 수행한다(Fig. 3). 계산 초기에 변형되지 않은 후류면을 이용하여 B-Spline 고차 경계요소법을 통해 적분방정식을 계산하는 경계치 문제(Boundary value problem, BVP)를 풀고 이를 통해 날개 끝단에서의 순환분포를 계산한다. 계산한 결과를 바탕으로 와류격자법(Vortex lattice method, VLM)을 이용하여 후류면에서의 속도성분과 새로운 위치를 계산하고, 변형된 후류형상과 함께 날개에 대한 적분방정식을 다시 풀게 된다. 후류면의 변화량이 수렴할 때까지 반복계산을 수행하여 최종 결과를 도출한다.
Fig. 3

Wake alignment and roll-up modeling

HOGHC7_2017_v31n3_189_f003.jpg

3. 수치계산 결과 및 토의

수치해석을 위해 먼저 NACA 0012 단면을 갖는 3차원 날개와 날개 길이의 5배에 해당하는 후류면을 다음 Fig. 4와 같이 모델링하였다. 후류면의 변화를 고려하지 않고 계산했을 경우, 받음각이 5도일 때 NACA 0012 날개단면을 갖는 3차원 날개 표면에서의 압력분포는 Fig. 5와 같다. 기존의 저차 패널법을 사용할 경우 계산이 어려웠던 날개 끝 영역에서의 압력분포를 잘 표현하는 것을 확인할 수 있다. 후류유동을 모사하는 모델링 기법을 적용하여 동일한 모델에 대해 계산을 수행한 결과, Fig. 6에서 보는바와 같이 유동방향으로 후류면의 형상 변화를 확인할 수 있다. 날개 끝에서부터 후류면의 감김 현상이 잘 모사되고 있으며, 유동방향으로 후류면의 높이가 낮아지는 현상(Wake downstream)을 확인할 수 있다.
Fig. 4

Geometry representation

HOGHC7_2017_v31n3_189_f004.jpg
Fig. 5

Pressure distributions (NACA 0012 circular wing, α = 5°)

HOGHC7_2017_v31n3_189_f005.jpg
Fig. 6

Wake deformation (NACA 0012 circular wing, α = 5°)

HOGHC7_2017_v31n3_189_f006.jpg
Fig. 7은 후류면의 변화량을 고려한 모델링의 적용 여부에 따른 날개 표면에서의 압력분포를 나타낸다. 스팬방향의 각 단면별 코드 길이(cs)로 무차원하여 표현하였다. 스팬방향으로는 날개 끝단에 가까울수록 모델링의 적용 여부에 따른 변화량이 뚜렷하게 나타나며, 코드방향으로는 날개 뒷날에 가까울수록 그 변화량이 크게 나타남을 확인할 수 있다.
Fig. 7

Comparison of pressure distributions between with and without wake roll-up (NACA 0012 circular wing, α = 5°)

HOGHC7_2017_v31n3_189_f007.jpg
Fig. 8은 본 해석법을 사용하여 예측한 후류방향으로 날개길이의 4배와 9배 위치에서의 후류면의 변형된 형상을 Suchi and Morino(1976)Pyo and Kinnas(1997)의 계산결과와 비교하였다. 기존 연구내용과 동일하게 NACA 66 날개단면을 갖는 3차원 날개를 사용하였으며, 종횡비는 8.0, 날개 두께비는 0.01, 받음각은 10°로 하였다. 이렇게 계산한 각각의 유동방향 위치에서의 후류면의 형상은 후류면의 감김 현상이 표현되는 정도에 차이를 보이나 이는 모델링 기법에 따른 차이이며, 각 유동방향의 위치에서 후류면의 속도를 검증하기 위해 날개 끝에서부터 시작되는 보텍스 중심을 따라 접선방향 속도성분의 계측결과(Fruman et al., 1992)와 해석해(Burgers)인 식 (24)에 따른 결과를 본 연구의 수치해석 결과와 비교하였다. 실험 및 해석해와 동일하게 NACA 16020 날개단면을 갖는 3차원 날개를 사용하였으며, 종횡비는 3.0, 받음각은 10.6°로 계산하였다.
Fig. 8

Wake sheet cross section (NACA 66, rectangular wing, AR = 8.0, t/c = 0.01 α = 10°)

HOGHC7_2017_v31n3_189_f008.jpg
HOGHC7_2017_v31n3_189_e924.jpg
여기서, 보텍스 세기(Γ)와 코어의 반경(α)은 Fruman et al.(1992)의 실험치를 적용하였다. 코드 길이로 무차원한 x축을 따라 각각 x/c가 0.125, 0.25, 0.5일 때 접선방향 속도성분(w)을 유입속도로 무차원하여 Fig. 9에 나타내었다. 기존의 연구결과와 비교하였을 때, 보텍스 중심을 기준으로 그 주변의 속도 분포를 잘 예측하고 있음을 확인하였다. 해석해의 경우 날개에 의한 영향을 고려하지 않은 결과로 상대적으로 날개 형상과 근접한 x/c=0.25일 때의 결과는 실험 및 해석 결과와 다소 차이를 보인다.
Fig. 10의 왼쪽 그림은 앞선 NACA 16020 날개단면을 갖는 3차원 날개 후류면의 속도 분포를 표현하였다. 이때, Fig. 10의 오른쪽 그림은 날개 끝단 부분을 확대하여 앞선 Fig. 9의 접선 방향 속도성분이 0인 위치와 함께 나타내었으며, 그 결과 후류면에서 발생하는 보텍스의 중심이 날개 끝단에서부터 x축을 중심으로 전체 스팬길이의 1% 정도 Inboard 방향으로 위치함을 알 수 있다. 날개의 후류면을 따라 유기되는 접선방향 속도에 의해 후류면은 날개 스팬길이에 비해 수축되는 것으로 판단된다. 이를 평가하기 위해 종횡비 2.0인 날개(NACA 16020 단면)를 대상으로 충남대학교 캐비테이션 터널 실험을 수행하였으며, 관측 결과와 현재 계산 방법으로 추출한 보텍스 중심을 비교하였다(Fig. 11).
Fig. 9

Tangential velocity profiles at different stream wise stations (NACA 16020 elliptic wing, AR = 3.0, α = 10.6°)

HOGHC7_2017_v31n3_189_f009.jpg
Fig. 10

Predicted wake contraction and vortex core radius (NACA 16020 elliptic wing, AR = 3.0, α = 10.6°)

HOGHC7_2017_v31n3_189_f010.jpg
Fig. 11

Comparison of wake contraction (NACA 16020 elliptic wing, AR = 2.0, α = 10°)

HOGHC7_2017_v31n3_189_f011.jpg
충남대학교 캐비테이션 터널(CNUCT)은 100mm × 100mm × 1400mm (폭× 깊이× 길이)의 시험부를 갖으며 최고 유속 20m/s이다. 계산 결과와 비교한 실험 모형은 최대 코드길이 60mm의 3차원 날개로 유속 조건 12m/s, 레이놀즈수 7.2×105, 공동수 1.3, 그리고 받음각이 α = 10°일 때 실험결과와 수치해석 결과가 비교적 잘 일치함을 확인할 수 있다.

4. 결 론

본 논문에서는 3차원 수중익의 날개 끝 와류유동의 모사를 위해 B-스플라인 고차패널법과 후류 감김 모델링을 적용하여 수치해석법을 재정립하였다. 개발한 수치해석법을 사용하여 예측한 결과를 기존의 연구 결과 및 충남대학교 캐비테이션 터널에서 관측한 결과와의 비교를 통해 수치해석법을 검증하였다. 먼저 NACA 0012 단면의 원형 날개를 대상으로 기존의 저차 패널법을 이용해서는 해석하기 불가능한 날개 끝 영역에서도 연속적인 압력장 해석이 가능함을 보였다. 또한 후류면의 감김 현상을 모델링하고 이를 적용하였을 때 날개 면에 작용하는 압력장의 차이가 있음을 보였으며, 후류면의 감김 정도와 유기되는 수직 방향 속도성분을 기존 이론해석 및 실험결과와 비교, 평가하였다. 아울러 캐비테이션 터널 실험을 통해 NACA 16020 날개에서 발생하는 날개 끝 보텍스 캐비테이션을 관측하여 비교함으로써 본 해석법을 통해 후류면의 수축 정도와 보텍스 중심의 위치를 잘 추적할 수 있음을 보였다.

감사의 글

본 연구는 산업통상자원부의 산업융합원천기술개발사업(10045337)과 산업핵심기술개발사업(10062293)의 지원으로 수행된 연구 결과 중 일부임을 밝힌다.

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