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J. Ocean Eng. Technol. > Volume 31(3); 2017 > Article
파랑 중 실린더형 구조물의 동적 안정성에 대한 연구

Abstract

A cylindrical structure has a very long period of heave and pitch motion response in ocean waves. To obtain the dynamic stability of a cylindrical structure, it is necessary to obtain the suitable metacentric height (GM). However, in a structure with sufficient metacentric height, Mathieu instability can occur if the natural frequency of the heave motion is double the natural frequency of the roll and pitch motion. This study carried out numerical calculations and experiments for vertical-axis wind turbines with cylindrical floaters, which had three different centers of gravity. In the regular wave experiment, the divergence of the structure motion without yaw was observed when the natural frequency of the heave motion was double the natural frequency of the roll and pitch motion. In the irregular wave experiment, the motion spectra of the structures with the different centers of gravity were compared, and one was very high when the natural frequency of the heave motion was double the natural frequency of the roll and pitch motion.

1. 서 론

실린더형 구조물은 동적 안정성의 확보를 위해 실린더 하부에 적절한 밸러스트(Ballast)를 통하여 부심(Center of buoyancy) 아래에 무게중심(Center of gravity)을 두고 있다. 실린더형 구조물은 해양파와의 공진을 피하도록 아주 긴 운동주기를 가지고 있는 것이 특징이며 TLP(Tension Leg Platform)에서 나타나는 Springing이나 Ringing현상은 피할 수 있는 반면, 장주기 표류운동(Slow drift motion)이 나타날 수 있다(Oh., 2003).
구조물을 설계함에 있어 아주 중요한 점은 적절한 무게중심을 고려하는 것이다. 실린더형 구조물은 다른 구조물에 비해 작은 수선면적을 가지고 있기 때문에 Pitch와 Roll운동의 복원모멘트(Restoring moment)에 영향을 미치는 메타센터높이(Metacentric height, GM)가 무게중심위치에 의해 크게 좌우된다. 만약 메타센터높이가 작은 값을 가진다면 작은 복원모멘트를 가지게 되어 불안정한 상태로 구조물이 전복될 수 있다. 메타센터높이가 큰 값을 가지고 Pitch와 Roll 운동에 대해 충분한 복원모멘트를 가진다 하더라도 Mathieu 불안정 현상에 의해 각 운동응답이 발산할 수 있다. Mathieu 불안정 현상에 대한 선행 연구로는 Koo et al.(2004)가 감쇠계수 및 라이저(Riser)가 각각 다른 실린더형 구조물들에 대해 규칙파 및 불규칙파 중 운동응답을 이론계산을 통하여 Mathieu 불안정 현상을 연구하였고, Rho et al.(2005)Rho and Choi(2005)은 Damping plate가 Mathieu 불안정 현상을 얼마나 억제하는지 실험을 통하여 파악 하였다.
본 논문에선 수직축 풍력터빈(Vertical axis wind turbine)을 탑재한 실린더형 구조물에 대해 3가지 무게중심에 따른 운동성능을 이론계산 및 실험을 통하여 관찰하였다. 규칙파 실험에서 Heave 공진주파수 주위의 입사파에 대해서 Mathieu 불안정 현상이 나타나는 것을 확인 하였고, 불규칙파 실험에서 각각의 무게중심 Case에 대해 Mathieu 불안정 현상을 운동스펙트럼을 통하여 비교 분석 하였다.

2. Mathieu 불안정 현상에 대한 이론적 해석

실린더형 구조물은 다른 구조물에 비해 Heave 운동에 따른 메타센터높이의 변화가 크고, 계속적으로 변하게 된다. 이는 비교적 큰 Heave 운동이 발생할 때 메타센터높이와 비례관계인 Roll 및 Pitch 운동의 복원력이 Heave 운동에 의해 크게 영향을 받을 수 있음을 의미한다. 실린더형 구조물의 Mathieu 불안정 현상은 구조물의 Heave 운동 공진주파수가 Roll 및 Pitch 운동 공진주파수의 2배일 때 큰 Heave 운동에 영향을 받아 나타나는 현상이다.
부유체의 6자유도 운동방정식은 식 (1)과 같이 표현된다.
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여기서 Mnnn운동방향의 질량 및 관성모멘트, mnnn운동방향의 부가질량 및 부가관성모멘트, Cnnn운동방향의 감쇠계수, Knnn운동방향의 복원력계수, Mexn (t)은 n운동방향의 파랑강제력 및 파랑강제모멘트를 의미한다.
실린더형 구조물은 Roll 및 Pitch 운동의 관성모멘트, 부가관성모멘트, 메타센터높이는 각각 같고, Roll 운동 파랑강제모멘트 Mex4 (t)는 정면파 상태에서 0이므로 운동방정식은 다른 방향의 운동과의 연성을 무시할 경우 식 (2)과 (3)와 같이 표현된다(Hong et al., 2005).
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여기서 M44 , M55는 Roll, Pitch 운동 관성모멘트, m44 , m55는 Roll, Pitch 운동 부가관성 모멘트, C44 , C55는 Roll 및 Pitch 운동 감쇠계수, ωe는 입사파의 주파수, ∆는 배수량, Mex5는 Pitch 파랑 강제모멘트이다. 여기서 Heave 운동에 의해 시간에 따라 변하는 메타센터 높이 GM(t)를 식 (4)과 같이 가정하면
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식 (2), (3)은 식 (7), (8)와 같이 표현 될 수 있다.
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여기서 γ는 감쇠계수, ω0는 Roll 및 Pitch 운동의 공진주파수, GM0는 정수 중 구조물의 메타센터높이, δGM은 파랑 중 구조물의 Heave 운동에 따른 메타센터높이 변화량이다. 변수 ωetτ로 치환하여 식 (7)를 식 (13)과 같이 표현 할 수 있다.
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위 식 (13)은 Roll및 Pitch 운동의 복원력항이 주기 2π를 가지며 시간에 따라 변하는 Mathieu 방정식이다. Mathieu 방정식의 안정과 불안정에 대한 판단은 파라미터 δε의 값이 δ-ε 평면의 어느 영역에 위치하는지에 있다(Park., 2013). 본 논문에서 δGM은 각 규칙파 실험 결과에서 Heave 운동진폭으로부터 δKB, δBM을 계산하여 구하였다.

3. 수조실험

실험은 3차원 조파수조에서 수행하였으며 수조의 크기는 길이 28m, 폭 22m, 깊이 2.5m이다. Fig. 1은 실험 모델을 나타내며 구조물은 수직축 풍력터빈을 제외하고 지름 0.5m, 높이 1.5m로 제작되었으며 흘수는 1m이다. 부유체의 위치유지를 위한 계류는 규칙파 실험에선 선형스프링을 적용하였으며 불규칙파 실험에선 Catenary 계류시스템을 적용하였다. 선형스프링의 설치위치는 각 무게중심과 같은 높이의 페어리드(Fair lead)에 수평으로 설치하여 Pitch 운동에 대한 영향을 최소화 하도록 하였다. Catenary 계류 또한 선형스프링과 마찬가지로 각 무게중심과 같은 높이의 페어리드(Fair lead)에 설치하였으며 계류설치반경(Foot print radius)은 수심의 2배인 4m이다. 선형스프링과 Catenary 계류에 대한 특성은 Table 1에 설명하였다. Fig. 2는 실험의 개요도를 나타낸다. Table 2은 실험을 위해 제작된 구조물의 배수용적과 3가지 무게중심에 따른 메타센터 높이를 나타내고 있으며, Table 3은 각각의 무게중심에 대한 Roll 및 Pitch운동의 관성모멘트 및 복원력 계수를 나타낸다. Table 4는 실험 Case구분을 위하여 각 Case에 대한 이름을 설명하고 있다. 규칙파는 2.09rad/s부터 3.92rad/s까지 8개로 나누었으며 불규칙파는 평균주기 3.58rad/s, 유의파고 0.1235m의 ITTC(International Towing Tank Conference) 스펙트럼을 가진다.
Fig. 1

Configuration of the experiment model

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Table 1

Particulars of mooring lines

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Fig. 2

Schematic view of the experiment

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Table 2

Metacentric height and displacement volume of each center of gravity

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Table 3

Moment of inertia and restoring coefficient of each center of gravity

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Table 4

Experiment cases

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구조물의 운동변위는 3차원 운동계측 장비를 이용하여 측정하였다. 3차원 운동계측 장비는 광학센서를 이용하여 부유체 상단에 부착된 5개의 반사마커의 x, y, z 방향 위치를 실시간으로 계측한다. 0.05s의 시간간격으로 반사마커의 위치를 측정하였고, 계측된 각 반사마커 위치를 무게중심으로 좌표이동 시켜 6자유도 운동을 계산하였다. Fig. 3은 반사마커의 위치를 Surge, Heave, Pitch운동 변위로 변환하는 방법을 나타내고 있다.
Fig. 3

Method of calculating surge, heave and pitch

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4. 이론계산 및 실험 결과

4.1 규칙파 실험 결과

Fig. 4은 구조물의 Surge, Heave, Pitch운동에 대한 이론계산 결과와 실험결과를 나타내고 있다. Heave 운동의 경우 무게중심이 변화하여도 총 무게는 변화하지 않기 때문에 3가지 무게중심 Case 모두 동일한 공진주파수를 가진다. Surge와 Pitch 운동의 경우 무게중심이 변화함에 따라 메타센터 높이와 관성모멘트가 변화하여 각각 다른 공진주파수를 가지며 이를 Table 5에 나타내었다. 이론계산결과 KG1의 경우 Heave 운동 공진주파수가 Pitch 운동 공진주파수의 2배임을 알 수 있고 이는 Mathieu 불안정 현상이 발생하는 조건과 일치한다.
Fig. 4

Comparison on simulation and experiment results

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Table 5

Simulated natural frequency of each motion of structure

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KG1-RW-LI Case의 규칙파 실험 중 앞서 설명한 Mathieu 불안정 현상을 확인하였고 Mathieu 불안정 현상이 일어나지 않은 KG2-RW-LI Case와 비교하여 Fig. 5에 나타냈다. KG2-RW-LI Case의 경우 시간에 따른 운동이 일정한데 반해 KG1-RW-LI Case에선 약 20초부터 불안정한 운동이 시작되고 정면파임에도 불구하고 Sway와 Roll 운동 또한 영향을 받아 불안정한 운동응답을 보였다.
Fig. 5

Time history of motion for the regular wave experiment

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Fig. 6는 Mathieu 방정식의 파라미터 δε의 이론 계산 값과 KG1-RW-LI Case에 대한 실험모델 제원을 바탕으로 계산한 δε의 값을 비교하여 나타내고 있다. 불안정 영역에 세 점은 각각 2.62rad/s, 2.86rad/s, 3.14rad/s의 입사파에 대한 실험결과를 식 (15)와 (16)에 대입하여 계산한 결과이다. 세 점에 해당하는 Case 모두 구조물의 메타센터높이가 가장 큰 무게중심 Case 임에도 불구하고 Mathieu 불안정 현상과 같은 불안정한 구조물 운동응답이 나타 날 수 있음을 이론계산과 실험결과를 통하여 확인하였다. 또한 Mathieu 방정식의 감쇠계수가 커짐에 따라 δ-ε 평면에서의 불안정영역이 줄어드는 것을 확인 할 수 있는데 이는 구조물의 감쇠에 따라 Mathieu 불안정 현상이 억제 될 수 있음을 의미한다.
Fig. 6

Comparison on the Mathieu stability diagram and experiment results (KG1-RW_LI)

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4.2 불규칙파 실험 결과

Fig. 7은 KG1-IRW-CA와 KG2-IRW-CA Case에 대한 Surge, Heave, Pitch 운동응답의 시간이력을 나타낸다. KG1-RW-LI Case에서 약 55초부터 Surge와 Pitch 운동응답이 발산하는 것을 관측하였고, 이는 불규칙파 중 높은 파고에 의해 Heave운동이 커짐에 따라 메타센터높이의 변화가 커져 생긴 현상으로 판단하였다.
Fig. 7

Time history of motion for the irregular wave experiment

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Fig. 8은 불규칙파 실험에서 각 무게중심 Case에 대한 Surge, Heave, Pitch 운동응답의 스펙트럼을 나타낸다. 운동응답스펙트럼을 관측한 결과 Heave 운동응답 스펙트럼은 3가지 무게중심 Case 모두 비슷한 양상을 확인 할 수 있으나, Surge와 Pitch 운동응답스펙트럼을 관측한 결과 Mathieu 불안정 현상이 나타나는 KG1-IRW-CA Case에서 나머지 무게중심 case에 비해 운동응답 스펙트럼 값이 아주 크게 나타나는 것을 확인 하였다.
Fig. 8

Comparison on each experimental results for the irregular wave, (a) Surge spectra, (b) Heave spectra, (c) Pitch spectra

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5. 결 론

본 연구에서는 실린더형 구조물의 무게중심 변화에 따른 운동성능을 이론 계산과 규칙파 및 불규칙파 실험을 실시하였고 그 결과를 바탕으로 아래와 같은 결론을 얻었다.
(1) 실린더형 구조물의 Heave 공진주파수가 Pitch 공진주파수에 2배인 경우에서 구조물의 Heave 공진주파수와 가까운 입사파에 대해 Mathieu 불안정 현상이 발생하여 운동응답이 발산하는 것을 확인하였다. 이를 통하여 실린더형 구조물의 설계에 있어 단순히 큰 메타센터높이를 확보하는 것만이 실린더형 구조물의 동적안정성을 확보하는 방법이 아님을 알 수 있다.
(2) 불규칙파 실험을 통하여 규칙파 실험과 마찬가지로 KG1 case에서 Mathieu 불안정 현상이 나타나는 것을 확인하였다. 이로써 실린더형 구조물의 Heave 공진주파수가 Pitch 공진주파수의 2배가 되는 경우, 입사파의 주파수가 Heave 공진주파수가 아님에도 불구하고 높은 파고에 기인하여 Mathieu 불안정 현상이 나타날 수 있음을 파악하였다.
(3) 실린더형 구조물 설계 시 필요에 의해 구조물의 크기나 하중조건이 대폭 변경될 경우 Mathieu 불안정 현상을 피할 수 있도록 무게중심을 주의 깊게 고려해야 한다.
향후 연구로 Mathieu 불안정 현상을 억제 할 수 있는 Heave plate등에 대해 더 연구할 필요가 있다.

References

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